Academia Acai Sabadell


El número Áureo

La proporción Aurea

El numero de oro o áureo es un numero irracional que representamos con la letra griega phi (Φ). Fue un hallazgo de los griegos de la época clásica y su historia documentada comienza con uno de los libros mas celebres, comentados y reimpresos de la historia: los Elementos de Geometría de Elucides.

phi

El número áureo es la relación o proporción que guardan entre sí dos segmentos de rectas. Fue descubierto en la antigüedad, y puede encontrarse no solo en figuras geométricas, sino también en la naturaleza. A menudo se le atribuye un carácter estético especial a los objetos que contienen este número, y es posible encontrar esta relación en diversas obras de la arquitectura u el arte. Por ejemplo, el Hombre de Vitruvio, dibujado por Leonardo Da Vinci y considerado un ideal de belleza, está proporcionado según el número áureo.

Figura 41 - Cuadratura del circulo                    Proporción áurea del hombre de vitruvio            

Hay números que han intrigado a la humanidad desde hace siglos. Valores como PI -la razón matemática entre la longitud de una circunferencia y su diámetro- o e -la base de los logaritmos naturales-, suelen aparecer como resultado de las más dispares ecuaciones o en las proporciones de diferentes objetos naturales.

El número áureo -a menudo llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea o divina proporción- también posee muchas propiedades interesantes y aparece, escondido y enigmático, en los sitios más dispares

aloeaurea

Sucesión de la proporción Áurea y el crecimiento progesivo de un cactus

Este número también aparece con mucha frecuencia en el arte y la arquitectura. Por algún motivo, las figuras que están “proporcionadas” según el número áureo nos resultan más agradables. Aunque recientes investigaciones revelan que no hay ninguna prueba que conecte esta proporción con la estética griega, lo cierto es que a lo largo de la historia se ha utilizado para “embellecer” muchas obras. Por ejemplo, el uso de la sección áurea puede encontrarse en las principales obras de Leonardo Da Vinci. Es bien conocido el interés de Leonardo por la las matemáticas del arte y de la naturaleza, y esta proporción no le era indiferente. De hecho, en su estudio de la figura humana, plasmado en el Hombre de Vitruvio, puede verse cómo todas las partes del cuerpo humano guardan relación con la sección áurea. Algunos expertos creen que la gran pintura inacabada de Leonardo, San Jerónimo, que muestra a este santo con un león a sus pies, fue pintada ex profeso de forma que un rectángulo con estas proporciones encajase perfectamente alrededor de la figura central. También el rostro de la Mona Lisa encierra un “rectángulo dorado” perfecto. Obviamente, Leonardo no fue el único en utilizar esta proporción en su obra. Miguel Ángel, por ejemplo, hizo uso del número áureo en la impresionante escultura El David, desde la posición del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos.

 

joconde”Rectángulo dorado” de la Mona Lisa   

La arquitectura no es ajena a este valor matemático. La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas, por ejemplo, también se relacionan mediante el número áureo. Muchos productos de consumo masivo se diseñan siguiendo esta relación, ya que resultan más agradables o cómodos. Las tarjetas de crédito o las cajas de cigarrillos poseen dimensiones que mantienen esta proporción. El número áureo puede encontrarse por todas partes, y a menudo ni siquiera somos consientes de que está allí. Pero en general, cuando algo nos resulta atractivo, esconde entre sus partes esta relación. ¿No es asombroso?

 

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El valor del numero de oro como patrón ideal de belleza no es únicamente una veleidad humana. La naturaleza misma parece otorgar a Φ (phi) un papel especial a la hora de escoger ciertas formas por encima de otras, aunque para percatarse de ello se debe profundizar algo mas en las propiedades del numero de oro. Tomemos a nuestro ya conocido rectángulo áureo y, partiendo de él, restemos un cuadrado de longitud igual al lado corto de aquel. En este proceso conseguiremos un nuevo rectángulo áureo, de tamaño obviamente menor, si repetimos el proceso varias veces obtendremos la figura siguiente:

imagen-10

Vamos ahora a trazar distintos cuadrantes de circunferencia de un radio igual al lado de cada uno de los cuadrados que hemos ido quitando, y con el centro en el vértice de cada uno de ellos. El dibujo resultante nos quedara como sigue:

500px-Fibonacci_Spiral_GeoGebra.svg

Esta curva sinuosa y elegante es una buena aproximación a la denominada espiral logarítmica. Lejos de ser una mera curiosidad matemática, se puede observar muy fácilmente en nuestro entorno, en un recorrido vertiginoso que va de la concha de los nautilus…

nautilusaureo

…a la forma de los brazos de las galaxias…

galaxiaaurea

…y, de regreso a la naturaleza en tierra firme, a la elegancia sin par de la disposición de los pétalos de una rosa

rosa aurea

Mirando la elegancia de la rosa y la disposición de sus pétalos descubrimos la belleza del crecimiento y se presta a introducir un nuevo concepto matemático: la sucesión de Fibonacci. Dicha serie numérica descrita por este matemático italiano del siglo XIII arranca con los valores 1 y 1 a partir de los cuales cada nuevo termino se genera con la suma de los dos anteriores, los 15 primeros números de esta serie infinita son:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,277,610

Las relaciones entre la sección áurea y la sucesión de Fibonacci son múltiples e insospechadas y se exploran con mas detalle mas adelante; baste apuntar en esta introducción las asombrosas correspondencias entre el reino abstracto de los números y la realidad palpable, el sueño pitagórico convertido en realidad en un escenario de excepción.

Para ello nos serviremos de la flor del del girasol, cuajada de pepitas:

girasol aureo

Al poco nos daremos cuenta de que las pepitas dibujan espirales concéntricas en sentidos horario y anti horario. Si se cuentan unas y otras, resultan dos números en apariencia anodinos: 21 y 34… Dos números que ya hemos visto antes.

Se trata de dos términos sucesivos de la serie de Fibonacci. Si hiciéramos el mismo ejercicio para el caso de otras flores de girasol, es muy probable que el resultado fuera el mismo o, en su lugar, otro par de términos sucesivos de la misma serie, en especial 55 y 89. La presencia de la proporción áurea en plantas y arboles no se agota con este ejemplo, sino que abarca la disposición de las ramas de algunos arboles, el numero de los pétalos de muchas flores, e incluso la forma de las hojas.

La razón áurea anuncia su presencia en muchas grandes obras arquitectónicas de todas las épocas, como la Gran Pirámide o algunas de las mas notables catedrales góticas francesas. Aunque resulte arriesgado afirmarlo con rotundidad por ejemplo en la fachada de Fidias, del Partenón, la proporción áurea subsiste en la limpieza de sus líneas que encierran una noción de armonía, de valor universal.

Pero así descubrimos que sus diversos elementos pueden dividirse en rectángulos áureos…

partenonaureo2Rectángulo áureo del Partenón    

 

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